Идентификация систем ЛА

Формирование моделей на основе результатов наблюдений и исследование их свойств - вот, по существу, основное содержание науки. Модели ("гипотезы", "за­коны природы", "парадигмы" и т.п.) могут быть более или менее формализованны­ми, но все обладают той главной особенностью, что связывают наблюдения в некую общую картину. Решение задачи построения математических моделей динамических систем по данным наблюдений за их поведением составляет предмет теории иденти­фикации, которая тем самым становится элементом общей научной методологии. А поскольку мы "окружены" динамическими системами, методы идентификации систем имеют широкие приложения. Цель данного раздела заключается в том. чтобы дать минимальное представление об имеющихся методах идентификации, их обосновании, свой­ствах и применении.

Динамические системы

Говоря нестрого, система - это объект, в котором происходит взаимодействие между разнотипными переменными и формируются наблюдаемые сигналы.

Интересующие нас наблюдаемые сигналы обычно называют выходными сигнала­ми. Все остальные сигналы называют входными сигналами и возмущениями, причем возмущения могут быть разбиты на два класса: измеряемые непосредственно и доступные лишь косвенной оценке по воздействию, оказываемому ими на выходной сигнал.

Рис 3.2 Движение судна в горизонтальной Рис. 3.3 Система динамики рулевого

плоскости (δ-команда на руль, управления (δ- входной сигнал, ψ-выходной

ψ- курсовой угол) сигнал, υ-неизмеряемая помеха)

Рис. 3.4. Входо-выходные данные для системы рулевой динамики судна (интервал между замерами -10с.)

Пример Динамика управления судном.

Движение судна происходит под действием тяговой силы винта и зависит от положения рулей, силы и направления ветра и волн. См. рис. 3.2. В качестве подпроблемы можно рассмотреть частную задачу о зависимости курса судна (направление движения носовой части) от положения рулей при постоянном тяговом усилии. Эта система изображена на рис. 3.3. Записи данных наблюдений показаны на рис. 3.4. Длительность интервала наблюдений составила 25 мин, замеры осуществлялись каждые 10 с.

Процедура идентификации системы. Три основных компонента

Конструирование моделей по данным наблюдений включает три основных ком­понента.

1. Данные.

2. Множество моделей-кандидатов.

3. Правило оценки степени соответствия испытываемой модели данным наблюдений
Прокомментируем каждый из этих компонентов.

1. Данные наблюдений. Входо-выходные данные иногда регистрируются в процес­се проведения целенаправленных идентификационных экспериментов, когда пользо­ватель может определить перечень и моменты измерения сигналов, причем некоторые из входных сигналов могут быть управляемыми. Задача планирования эксперимен-­
тов, таким образом, состоит в том, чтобы, учитывая возможные ограничения,
выбрать максимально информативные данные о сигналах системы. В некоторых слу-­
чаях пользователь может быть лишен возможности влиять на ход эксперимента и
должен опираться на данные нормальной эксплуатации.

2. Множество моделей. Множество моделей-кандидатов устанавливается посред­-
ством фиксации той группы моделей, в пределах которой мы собираемся искать
наиболее подходящую. Несомненно, это наиболее важная и в то же время наиболее
трудная часть процедуры идентификации. Именно на этом этапе знание формаль­-
ных свойств моделей необходимо соединить с априорным знанием, инженерным
искусством и интуицией. Множество моделей иногда становится результатом тща-­
тельного моделирования, после чего на основе законов физики и других достоверных
знаний формируется модель, включающая физические параметры с еще не определен­-
ными значениями. Другая возможность состоит в том, чтобы без всякого физичес-­
кого обоснования использовать стандартные линейные модели. Множество таких
моделей, у которых параметры рассматриваются прежде всего как варьируемые
средства подстройки моделей к имеющимся данным и не отражают физики процесса,
называется черным ящиком. Множества моделей с настраиваемыми параметрами,
допускающими физическую интерпретацию, называют серыми ящиками.

3. Определение на основе данных наблюдений "наилучшей" модели множества.
Эта часть есть собственно метод идентификации. Оценка качества модели связана,
как правило, с изучением поведения моделей в процессе их использования для вос­-
произведения данных измерений.

Подтверждение модели. В результате осуществления всех трех этапов процеду­ры идентификации мы получаем, хотя бы в неявной форме, конкретную модель: одну из множества, причем такую, которая в соответствии с выбранным крите­рием наилучшим образом воспроизводит данные наблюдений.

Остается проверить, "достаточно ли хороша" модель, т.е. выполняет ли модель свое предназначение. Такие проверки известны под названием процедур подтвержде­ ния модели. К ним относятся различные процедуры оценивания соответствия моде­лей данным наблюдений, априорной информации и поставленной прикладной цели. Неудовлетворительное поведение модели по каждому из этих компонентов заставляет нас отказываться от модели, тогда как хорошее ее функционирование создает определенную степень доверия к модели. Модель никогда нельзя считать окончательным и истинным описанием системы. Ее скорее можно рассматривать как способ достаточно хорошего описания тех аспектов поведения системы, которые представляют для нас наибольший интерес.

Контур идентификации системы. Процедура идентификации системы порождает следующую естественную логику действия: (1) собрать данные; (2) выбрать мно­жество

моделей; (3) выбрать наилучшую в этом множестве модель. Однако вполне

Рис. 3.5. Контур идентификации системы

вероятно, что первая из так найденных моделей не выдержит проверки на этапе под­тверждения. Тогда нужно вернуться и пересмотреть различные шаги процедуры. Существует несколько причин несовершенства моделей:

Численный метод не позволяет найти наилучшую по выбранному критерию модели;

Критерий выбран неудачно;

Множество моделей оказалось неполноценным в том смысле, что в этом мно-­
жестве вообще нет "достаточно хорошего" описания системы;

Множество данных наблюдений не было достаточно информативным для того,
чтобы обеспечить выбор хороших моделей.

По существу, главным в приложениях идентификации является итеративное ре­-
шение всех этих вопросов, особенно третьего, на основе априорной информации и
результатов предыдущих попыток. См. рис. 3.5.

Параметрическая идентификация объектов.

При построении моделей сложных технических систем простота математического описания иногда имеет не меньшее значение, чем универсальность модели и ее адекватность во всех условиях эксплуатации объекта.

В условиях реального эксперимента, когда априорная информация об исследуемой системе, протекающих в ней процессах и действующих возмущениях часто недостаточна для обоснования выбора алгоритма идентификации и типа формируемой модели, целесообразно решать задачу в классе линейных моделей с использованием «грубых» алгоритмов оценивания.

Применение алгоритмов идентификации, основанном на методе наименьших квадратов, по сравнению с прочими, накладывает минимальные ограничения и позволяет получать надежные оценки в самых разных условиях.

Описание линейных систем.

Поскольку обработка сигналов в вычислительной машине производится дискретно, то целесообразным является описание линейных систем и сигналов на основе Z – преобразования. При этом непрерывные процессы и отклик системы дискретезируются с тактовым шагом T 0 . (См. рис 3.6).

k = t / T 0

Переход к дискретному времени k=t/T 0 позволяет описывать поведение линейной сиситемы с помощью разностного уравнения.

Используя понятие Z – оператора, где , достаточно просто представляется непрерывное звено.

Общий вид:

или (обратно) в области времени:

Обратно в области времени:

Дифференциальное уравнение системы:

Где τ – чистое запаздывание.

Передаточная функция, следовательно, имеет вид:

Параметрическая идентификация линейных объектов

Цель лекции:

Изучить методы параметрической идентификации линейных объектов (статические и динамические детерминированные объекты).

Рассматриваем линейные объекты или объекты, которые с достаточной мерой приближения можно принять за линейные. В параметрическом случае модель определяется набором параметров, которые необходимо оценить в процессе идентификации. Чтобы уяснить процедуру минимизации функционала невязки, рассмотрим вначале статический детерминированный случай.

14.1 Статические детерминированные линейные модели

Модель линейного объекта с n входами и m выходами имеет единственную структуру и описывается системой линейных алгебраических уравнений

Идентифицируются m(n+1) коэффициентов c ij , i =1,..., m; j = 0,…, n.

В векторном виде эта система имеет вид

где X = (x 1 , x 2, ,…, x n ) - вход; Y = (y 1 , y 2, ,…, y n ) – выход; C 0 = (c 10 , …,c m 0);

Информацию об объекте можно представить в виде {X j , Y j k }, k =1,…,m, .

Идентифицируются C 0 и C.

Рассмотрим случай n>1, m=1. Случай m>1 сводится к m-кратному повторению рассматриваемого случая.

Итак, или

(n+1) неизвестных коэффициента подлежат оценке на основе информации {X j , Y j }, j =1,…,N, где X j =(x 1 j , x 2 j , …, x nj) - j-е состояние входа, Y j – реакция на этот вход.

Обычный подход к решению этой задачи - приравнивание выходов объекта и модели

, (14.1)

Получили N уравнений с (n+1) неизвестными (систему уравнений идентификации). Эта система имет единственное решение, если ранг матрицы

равен (n+1).

(14.2)

Это возможно в том случае, если найдены (n+1) линейно-независимых строк этой матрицы. Поэтому из Nпар следует выбрать (n+1) линейно-независимую строку:

В этом случае решение (14.1) определяет точное значение идентифицируемых параметров (если объект действительно линеен).

Однако при этом методе не используется вся исходная информация. Используем ее. Введем невязку:

где - локальная невязка (на i-той паре).

Задачу оценки параметров С можно теперь представить как задачу минимизации невязки (14.3), то есть свести к системе линейных алгебраических уравнений:

(14.4)

Определитель этой системы не равен нулю, если ранг (14.2) равен (n+1).

Решения систем (14.1) и (14.4) совпадают. Зачем же использовать этот более сложный метод, тем более, что (14.1) требует лишь (n+1)точку? Зачем остальныеN – (n+1) точек? Если объект действительно детерминированный и линейный, то эти точки не нужны и второй способ не стоит применять. Однако, возможно, что объект почти линеен. Тогда по двум точкам получается очень грубая модель. Второй способ как бы «спрямляет» объект.

Если же ранг системы (14.4) меньше (n+1)? В этом случае:

1. Повторить измерения (может быть, вначале состояния системы были недостаточно разнообразны). Если опять не получится, то изменить структуру модели.

2. Понизить число идентифицируемых параметров, то есть исключить рассмотрение одного из входов, например, того, который мало изменяется. И до тех пор, пока ранг (14.2) не совпадет с ее размерностью.

ЦВМ открыли большие возможности для использования информации, снимаемой с объекта, для улучшения качества управления или характеристик регулятора. Широкое распространение получили адаптивные, самонастраивающиеся системы, в которых реализуется автоматическая подстройка параметров системы на основе анализа и обработки информации об эффективности процесса регулирования.

Рис. 9.1. Общая схема адаптивной системы управления (r, u - входы, - параметры).

1-й блок – это реальный объект, точное описание которого неизвестно. 2-й блок – более или менее точное его описание, 3-й – закон управления.

Модель (2-й блок) – приближённая и объект изменяется во времени. Улучшение модели называется идентификацией (повышение её точности). Идентификация имеет 2 стороны:

структурная;

параметрическая.

Под структурной идентификацией понимается приближение структуры модели к реальной так, чтобы она наилучшим образом отражала объект. Так как объекты могут быть самыми различными (механическими, экологическими и др.) нельзя придумать формальных методов структурной идентификации.

4-й блок (рисунок 9.1) отражает параметрическую идентификацию. Параметрическая идентификация – это улучшение значений параметров модели с целью повышения точности модели. Точность всегда понимается как разность между прогнозируемым и тем, что получаем.

5-й блок (рисунок 9.1) осуществляет адаптацию параметров регулятора.

Адаптация означает подстройку параметров регулятора, его самообучение. Параметры регулятора зависят от параметров объекта и обычно выражаются через них. Изначально параметры объекта не всегда известны с достаточной степенью точности или “плывут” во времени, что и вынуждает прибегать к адаптации. Поэтому адаптации – изменению характеристик регулятора – обычно предшествует процедура уточнения характеристик объекта по результатам измерения входных и выходных величин, которая называется идентификацией. Вопросы идентификации и адаптации получили резкое развитие в последние 25-30 лет, благодаря быстрому росту ресурсов цифровых контроллеров с одновременным снижением их стоимости.

Главная отличительная особенность адаптивных систем от систем с постоянными параметрами состоит в том, что они могут автоматически приспосабливаться к изменяющимся внешним условиям, могут обучаться подстройкой регулятора. Используются два основных способа подстройки регулятора.

Если изменяющиеся динамические свойства объекта доступны контролю по измеряемым внешним факторам и известно, как должен настраиваться регулятор в зависимости от параметров объекта, то можно использовать прямой метод настройки или адаптацию по разомкнутому контуру

Рис. 9.2. (А - адаптер, Р – регулятор, О – объект).

Если характеристики объекта измерить и оценить непосредственно нельзя, то используют адаптацию по замкнутому контуру (с обратной связью). В этом случае в систему вводится второй контур управления, который управляет не поведением объекта, а структурой и параметрами регулятора.

Адаптивные регуляторы с обратной связью можно разделить на два класса: самостабилизирующиеся регуляторы и регуляторы с эталонной моделью.

В самонастраивающейся системе имеется идентификатор, который постоянно определяет параметры объекта, и корректор регулятора, который на основании заданного критерия оптимальности сопоставляет текущие значения параметров объекта с теми, на основании которых функционирует регулятор, принимает решение об изменении характеристик регулятора и реализует это решение.

В этой системе можно выделить этапы:

1. Идентификация объекта или системы в целом.

2. Расчет коррекции регулятора.

3. Коррекция (настройка) регулятора, изменение его структуры.

Цель : дать представление об активных и пассивных методах структурной и параметрической идентификации, типовых структурах объекта управления, их особенностях.

Основные определения

Модель - условный образ объекта исследования, получаемый для того, чтобы отобразить характеристики объекта, существенные для исследователя. Модели могут быть физическими (например, уменьшенная модель корабля для исследования его гидродинамических свойств в специальном бассейне) и математическими. По своему виду математические модели могут быть:
- символьные (в виде математических формул);
- графические;
- операционно-описательные (заданные, например, в виде алгоритмов);
- топологические или иконографические (задаются в виде графа или некоторой схемы).

Моделирование - метод исследования процессов или явлений на их моделях (математических или физических).

Математическое моделирование - метод исследования процессов или явлений путем построения их математических моделей и исследования этих моделей с помощью вычислительной техники.

Имитационное моделирование -метод математического моделирования, при котором используют прямую подстановку чисел, имитирующих внешние воздействия (часто случайные), параметры и переменные процессов, в математические модели объектов.

Идентификация модели - в соответствии с ГОСТ 20913-75 это определение параметров и структуры математической модели, обеспечивающей наилучшее совпадение выходных координат объекта и модели при одинаковых входных воздействиях. Иными словами идентификация - процедура построения модели объекта по результатам измерения и обработки входных и выходных сигналов объекта. Подход к построению модели на основе идентификации называют также экспериментальным подходом, в отличие от аналитического, когда модель выводится на основании основных законов физики, химии, электротехники, материального или энергетического баланса.

«Черный ящик» - система, у которой при неизвестной внутренней организации, структуре и поведении элементов имеется возможность наблюдать реакцию выходных величин на изменение входных воздействий. Если структура объекта известна, то используют термин «серый ящик».

Параметрическая идентификация - определение параметров модели при заданной ее структуре.

Априорная модель - модель, построенная до начала специальных экспериментальных исследований.

Апостериорная модель - модель, полученная или уточненная по результатам экспериментальных исследований.

Классификация методов идентификации

В зависимости от принятого критерия классификации можно по-разному выделить и сгруппировать подходы и методы идентификации. Рассмотрим разные виды классификации.
1. Классификация по объему исходной информации об исследуемом объекте :

• Методы непараметрической идентификации (идентификации в широком смысле), когда неизвестна структура объекта.
• Методы параметрической идентификации (идентификации в узком смысле), когда стоит задача оценки параметров модели известной структуры.

2. Классификация по виду эксперимента :

• Методы активного эксперимента. Имеется возможность целенаправленно формировать входные воздействия для исследуемого объекта. Для получения статических моделей существует целое научное направление, которое так и называется - «Планирование эксперимента».
• Методы пассивного эксперимента. При этом исследователь может наблюдать и обрабатывать входные и выходные сигналы объекта, но не может вмешаться в его функционирование. Отметим, что пассивный эксперимент возможен почти всегда, а вот активный эксперимент для многих исследуемых объектов и процессов провести нельзя.

3. Классификация в зависимости от вида критерия , по которому оценивается близость модели к реальному объекту. Обычно используется среднеквадратичное отклонение между выходом модели и объекта, но могут быть и другие подходы, и, соответственно, другие методы идентификации.

4. Классификация по оперативности получения модели :

• Методы ретроспективной идентификации. В этом случае вначале проводится эксперимент, собираются и затем обрабатываются статистические данные, в итоге получается модель объекта.
• Методы адаптивной идентификации, или идентификация в темпе со временем. Алгоритмы идентификации включаются в состав системы управления. Модель объекта пересчитывается с появлением новых данных.

5. Классификация по типу исследуемого объекта или его модели. Вообще, класс модели должен соответствовать изучаемому объекту, но часто модель получают более простую, чем реальный объект. В теории автоматического управления, например, вместо нелинейной модели используют линеаризованную модель, описывающую поведение системы не во всем диапазоне ее работы, а только в окрестности рабочей точки. В то же время могут быть объекты, где учет нелинейности очень важен, и, естественно, модель такой системы должна быть нелинейной. Итак, исследуемые объекты могут быть:

• линейные и нелинейные;
• стационарные и нестационарные;
• одномерные и многомерные;
• с сосредоточенными и с распределенными параметрами;
• непрерывные и дискретные;
• статические и динамические;
• детерминированные и стохастические и т.д.

Стохастические объекты предполагают наличие внутри себя некоторой неопределенности, так что для оценки поведения таких объектов требуется применение вероятностных методов. В то же время, при обработке результатов измерений, почти всегда приходится иметь дело со случайными ошибками и погрешностями, но сам исследуемый объект остается при этом детерминированным.

6. Классификация по виду математической модели . В теории управления используются различные виды математического описания одного и того же объекта: дифференциальные уравнения, передаточные функции, весовые (импульсные переходные) функции, переходные функции, частотные характеристики. Поэтому можно классифицировать методы идентификации по тому, на нахождение какого вида модели они нацелены.

7. Классификация по используемо му математическому аппарату . Для построения математических моделей могут использоваться корреляционные методы, регрессионный анализ, частотные методы, теория оценивания, графоаналитические методы и многие другие разделы современной теории управления.

Процедура идентификации системы

Конструирование моделей по данным наблюдений включает три основных компонента:

1. Данные наблюдений . Входные и выходные данные иногда регистрируются в процессе проведения целенаправленных идентификационных экспериментов, когда пользователь может определить перечень и моменты измерения сигналов, причем некоторые из входных сигналов могут быть управляемыми. Задача планирования экспериментов, таким образом, состоит в том, чтобы, учитывая возможные ограничения, выбрать максимально информативные данные о сигналах системы. В некоторых случаях пользователь может быть лишен возможности влиять на ход эксперимента и должен опираться на данные нормальной эксплуатации.

2. Множество моделей . Множество моделей-кандидатов устанавливается посредством фиксации той группы моделей, в пределах которой мы собираемся искать наиболее подходящую. Несомненно, это наиболее важная и в то же время наиболее трудная часть процедуры идентификации. Именно на этом этапе знание формальных свойств моделей необходимо соединить с априорным знанием, инженерным искусством и интуицией. Множество моделей иногда становится результатом тщательного моделирования, после чего на основе законов физики и других достоверных знаний формируется модель, включающая физические параметры с еще не определенными значениями. Другая возможность состоит в том, чтобы без всякого физического обоснования использовать стандартные линейные модели. Множество таких моделей, у которых параметры рассматриваются прежде всего как варьируемые средства подстройки моделей к имеющимся данным и не отражают физики процесса, называется «черным ящиком». Множество моделей с настраиваемыми параметрами, допускающими физическую интерпретацию, называют «серыми ящиками».

3. Определение на основе данных наблюдений «наилучшей» модели множества . Эта часть есть собственно метод идентификации. Оценка качества модели связана, как правило, с изучением поведения моделей в процессе их использования для воспроизведения данных измерений.

Подтверждение модели. В результате осуществления всех трех этапов процедуры идентификации мы получаем конкретную модель: одну из множества, причем такую, которая в соответствии с выбранным критерием наилучшим образом воспроизводит данные наблюдений.

Остается проверить, «достаточно ли хороша» модель, т.е. выполняет ли модель свое предназначение. Такие проверки известны под названием процедур подтверждения модели. К ним относятся различные процедуры оценивания соответствия моделей данным наблюдений, априорной информации и поставленной прикладной цели.

Неудовлетворительное поведение модели по каждому из этих компонентов заставляет нас отказываться от модели, тогда как хорошее ее функционирование создает определенную степень доверия к модели. Модель никогда нельзя считать окончательным и истинным описанием системы. Ее скорее можно рассматривать как способ достаточно хорошего описания тех аспектов поведения системы, которые представляют для нас наибольший интерес.

Процедура идентификации системы порождает следующую естественную логику действия: 1) собрать данные; 2) выбрать множество моделей; 3) выбрать наилучшую в этом множестве модель. Однако вполне вероятно, что первая из так найденных моделей не выдержит проверки на этапе подтверждения. Тогда нужно вернуться и пересмотреть различные шаги процедуры.

Существует несколько причин несовершенства моделей:

Численный метод не позволяет найти наилучшую по выбранному критерию модель;

Критерий выбран неудачно;

Множество моделей оказалось неполноценным в том смысле, что в этом множестве вообще нет «достаточно хорошего» описания системы;

Множество данных наблюдений не было достаточно информативным для того, чтобы обеспечить выбор хороших моделей.

По существу, главным в приложениях идентификации является итеративное решение всех этих вопросов, особенно третьего, на основе априорной информации и результатов предыдущих попыток.

Модели объекта управления

Тестовый сигнал необходимо выбирать с такой спектральной характеристикой, чтобы действующее значение сигнала в любом интервале частот многократно превышало соответствующую величину помехи . Граничная частота спектра тестового сигнала должна быть выше наибольшего по абсолютной величине полюса передаточной функции объекта. Для получения хорошего отношения сигнал/шум амплитудная характеристика спектра тестового сигнала не должна иметь сильных провалов в интересующей области частот, чтобы обеспечить достаточно большое отношение сигнала к шуму.

На рис. 4 приведены наиболее распространенные тестовые воздействия и их спектральные характеристики.

Рис. 4. Типовые тестовые воздействия: а - ступенчатое; б - прямоугольный импульс; в - двойной прямоугольный импульс; г - синусоидальное

Верхнюю граничную частоту спектра тестового сигнала выбирают выше частоты ω 180 , на которой фазовый сдвиг выходного синусоидального сигнала объекта относительно входного составляет -180˚.

Нижняя граница диапазона, в котором необходимо достаточно точно идентифицировать передаточную функцию объекта, должна быть примерно на порядок ниже частоты ω 180 .

Ширина спектра и мощность тестового сигнала существенно влияют на точность идентификации. В общем случае более мощные и широкополосные сигналы позволяют определить большее число параметров передаточной функции.

Очевидно, что ни один из приведенных сигналов в полной мере не соответствует перечисленным требованиям. Для повышения точности идентификации можно рекомендовать, например, выполнить эксперименты со ступенчатым воздействием, а затем с двойным импульсным.